2026年5月，国际顶级数学期刊《Inventiones Mathematicae》发表了一篇由中国团队完成的研究论文。该研究的作者包括清华大学与中国科学技术大学的双聘教授马杰，以及分别来自清华大学和中国科学技术大学的博士生申武杰和谢晟捷。

这篇论文在概率组合学领域取得了突破性进展，首次实现了对1947年由Erdős提出的概率方法的指数级改进。Erdős的概率方法是该领域的基础，但在近80年的时间里，其极限一直未能被根本性突破。

Erdős最初的概率方法简单直观：通过给完全图的每条边抛掷硬币来着色。例如，在一个足够大的社交网络中，必然存在一个完全相互认识或完全互不认识的群体。Erdős利用抛硬币的方法证明了这种“足够大”的规模至少是指数级的。

尽管在过去几十年里，研究者们在不断改进上界，例如在2023年将上界从约4压缩至3.7992，但下界的基数自Erdős提出以来近80年未有变化。直到马杰团队提出了一个基于球面的新想法，才打破了这一僵局。

“硬币太笨了”：引入几何结构

抛硬币着色的特点是颜色分配完全随机且独立，虽然易于分析，但未能利用几何结构来限制单色团的形成，导致信息的浪费。

申武杰提出的创新之处在于将几何概念引入随机性。他构建了“随机球图”模型，即将n个节点随机放置在高维球面上，并根据两点间的距离远近来决定边的着色。高维球面具有一个反直觉的特性：当维度增高时，几乎所有点都聚集在赤道附近，随机选择的两条径向线夹角几乎总是接近90度。这导致点对间的距离集中在一个狭窄的范围内，使得边的着色不再是完全随机，而是受到球面几何对称性的精确调控，从而天然地抑制了大面积单色团的出现。

然而，这种模型也存在一个权衡：它降低了生成红色团的概率，因为在有限的球面空间中，要使大量节点彼此远离以形成大红色团变得困难。但与此同时，蓝色团的概率反而有所上升。

研究团队随后在小规模图上进行了验证，发现即使在数以万计的着色方案中，无团着色的概率依然大于零，表明这种方法带来的收益确实超过了其代价。接下来的关键在于证明这一点，而这恰恰依赖于高维球面那些出人意料的几何特性。

以近对角线Ramsey数r(k, 2k)为例，当两个参数相差一倍时，Erdős的硬币方法给出的下界基数是黄金比例(1+√5)/2 ≈ 1.618。马杰、申武杰和谢晟捷将这一基数提升到了(1+√5)/2 + 10⁻²¹。这个改进量极其微小，约等于小数点后20个零后跟一个1。

然而，关键在于指数增长。Ramsey数是指数增长的，即使基数仅增加0.000000000000000000001，当k趋向无穷大时，新的下界将远远超越旧的下界。近80年来，这一基数从未被触动过。

该团队不仅微小地提升了数字，更重要的是证明了Erdős的硬币并非最优着色方案。随机球图在结构上优于纯随机着色，这意味着概率方法的天花板远未达到。这是该领域自Erdős以来首次实现指数级改进，并首次提供了一条超越硬币方法的路径。不过，该方法存在一个明确的局限：它仅在蓝色团大于红色团时有效。当两种颜色的禁忌团大小相等，即Erdős最初关注的对角线情形时，新方法的优势将消失。

学术界反响热烈

该研究的预印本于2025年7月发布在arXiv上。不到一周，组合数学领域的知名学者Gil Kalai便在博客上发表了一篇题为“Amazing”的长文，高度评价该模型“具有相当的独立研究价值”。剑桥大学的Julian Sahasrabudhe则表示，一项一直存在于人们眼皮底下的技术竟然能解决一个长期存在的问题，令人震惊。

2025年12月，马杰在加州大学洛杉矶分校（UCLA）的合作导师Benny Sudakov及其学生进一步证明，即使不使用球面模型，改用高斯随机图也同样有效。这一简化使得更多研究者能够参与到该方法的推广中。2026年初，该方法还被推广到了多色Ramsey数的研究。

最终，这篇具有里程碑意义的论文于2026年5月正式发表在《Inventiones Mathematicae》。

清华“00后”博士生的直觉

马杰，现任清华大学丘成桐数学科学中心教授及中国科学技术大学教授。他于2007年本科毕业于中国科大，2011年在佐治亚理工学院获得博士学位，师从Xingxing Yu。随后，他在UCLA担任Hedrick助理教授，师从Benny Sudakov，之后在卡内基梅隆大学（CMU）从事博士后研究。2015年回国后，他先在中科大任教，并于2024年同时加入清华大学丘成桐数学科学中心和北京雁栖湖应用数学研究院。马杰教授曾于2017年获得国家优青，2022年获得国家杰青，并担任SIDMA期刊编委。2020年，他荣获ICA Hall Medal，该奖项每年最多授予两名40岁以下的出色组合数学家。

谢晟捷，高中时期曾获得数学联赛广东赛区一等奖，并于高二年级通过少年创新班提前进入中国科学技术大学。本科期间，他获得了丘成桐中学数学奖团体铜牌。2023年，他选择留校攻读博士学位，师从马杰教授，在成果发表时为博士三年级在读生。

申武杰，出生于2000年后，目前在清华大学丘成桐数学科学中心攻读博士学位，导师为丘成桐教授。在研究成果发表时，他为博士四年级在读生。高中时，他曾获得中国数学奥林匹克三等奖。2018年，他考入北京大学数学学院，本科期间获得了全国大学生数学竞赛一等奖、阿里巴巴数学竞赛银奖以及ICCM创意本科论文奖。2022年，他进入清华大学攻读博士学位。在博士早期，申武杰主要研究方向为几何与拓扑，与Ramsey理论并无直接关联。2024年春季，他偶然阅读了一篇关于Ramsey数的论文，并被深深吸引，开始思考是否存在一种比Erdős抛硬币更有效的随机模型来生成无团着色。2024年秋季，他将这一想法与到清华访问授课的马杰教授交流，随后马杰教授的学生谢晟捷也加入了研究。三位研究者花费了一年时间，完成了长达40页的详细计算和证明。马杰教授表示，他们感到非常幸运，所有的努力都得到了回报，但过程确实非常艰难。

AI解题与人类创造力

就在该论文发表的同月，DeepMind公布了AlphaProof Nexus的最新成果：在353个Erdős开放问题中解决了9个，并证明了44个OEIS猜想，所有证明均通过Lean形式化验证。其中，有两道题已悬置56年。

然而，AI的解题过程主要是在已知框架内进行搜索。正如陶哲轩所言，AI是称职的助手，但并非同行，它擅长在既有方法中进行扫描匹配，却不擅长提出原创性想法。

马杰团队的研究恰恰属于后者。他们并未试图解决Erdős提出的某个具体问题，而是对Erdős发明的概率方法本身进行了升级。AI从Erdős的遗产中拆除了9堵墙，而这三位中国学者则重塑了他最引以为傲的那把“锤子”。在需要创造性洞察力的数学前沿领域，人类的独特作用目前仍不可替代。